第二节 纠错编码原理 一、纠错编码的原理 一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。例如，要传送的消息为 A 和 B ， 则我们可以用 1 表示 A ，0 表示 B 。在信道传输后产生了误码，0 错为 1，或 1 错为 0，但接 收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。如果在 0 或 1 的后面加上一位 监督位（也称校验位），如以 00 表示 A ，11 表示 B 。长度为 2 的二进制序列共有22 4 种 组合，即 00、01、10、11。00 和 11 是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10 为禁用码。当干扰只使其中一位发生错误，例如 00 变成了 01 或 10，接收端的译码器就认 为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码 11 也可能变为 01 或 10，因而不能自动纠错。如果在传输中两位码发生了错误，例如由 00 变成了 11，译码器会 将它判为 B ，造成差错，所以这种 1 位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误 码。 按照这种思路，使码的长度再增加，用 000 表示 A ，111 表示 B ，这样势必会增强码的 抗干扰能力。长度为 3 的二进制序列，共有 8 中组合：000、00 1、010、011、100、101、110、 111。这 8 种组合中有三种编码方案：第一种是把 8 种组合都作为码字，可以表示 8 种不同 的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个 许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四 种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4 种组合作为禁用码， 虽然只能传送 4 种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。例如，若 000 中错 了一位，变为 100，或 00 1 或 010，而这 3 种码为禁用码组。接收端收到禁用码组时，就认 为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。第三种方案 中规定许用码组为000 和 111 两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。例如， 在收到禁用码组 100 时，若当作仅有一位错码，则可判断出该错码发生在“1”的位置，从 而纠正为 000，即这种编码可以纠正一位差错。但若假定错码数不超出两位，则存在两种可 能性，000 错一位及 111 错两位都可能变为 100，因而只能检错而不能纠错。 从上面的例子可以得到关于“分组码”的一般概念。如果不要求检错或纠错，为了传输 两种不同的信息，只用 1 位码就够了，我们把代表所传信息的这位码称为信息位。若使用了 2 位码或 3 位码，多增加的码位数称为监督位。我们把每组信息码附加若干监督码的编码称 为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。 a a a a a a n−1 n−2 r r −1 1 0 k 个信息位 r 个监督位 码长 n k +r 图 8-2 分组码的结构 n, k k n 分组码一般用符号( )表示，其中 是每组码中信息码元的数 目， 是码组的总位数， 又称为码组的长度 （码长），n −k r 为每码组中的监督码元数目，或称为监督位数目。通 常将分组码规定为如图 8-2 所示的结构，图中前面k 位 (a , a ,...,a ) 为信息位，后面附 n−1 n−2 r 加r 个监督位(a ,...,a ) ，此码又称为系统码。 r −1 0 二、差错控制编码的基本概念 1、编码效率 设编码后的码组长度、码组中所含信息码元以及监督码元的个数分别为n, k 和r ，三者 之间满足n k +r ，编码效率R k / n 1−r / n 。R 越大，说明信息位所占的比重越大， 码组传输信息的有效性越高。所以，R 说明了分组码传输信息的有效性。 2、编码分类 ① 根据已编码组中信息码元与监督码元之间的函数关系，可分为线性码和非线性码。 若监督码元与信息码元之间的关系呈线性，即满足一组线性方程式，称为线性码。 ② 根据信息码元与监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。分组码的 监督码元仅与本码组的信息码元有关；卷积码的监督码元不仅与本码组的信息码元有关，而 且与前面码组的信息码元有约束关系。 ③ 根据编码后信息码元是否保持原来的形式，可分为系统码和非系统码。在系统码中， 编码后的信息码元保持原样，而非系统码中的信息码元则改变了原来的信号形式。 ④ 根据编码的不同功能，可分为检错码和纠错码。 ⑤ 根据纠、检错误类型的不同，可分为纠、检随机性错误的码和纠、检突发性错误的 码。 ⑥ 根据码元取值的不同，可分为二进制码和多进制码。 本章只介绍二进制纠错码和检错码。 3、编码增益 由于编码系统具有纠错能力，因此在达到同样误码率要求时，编码系统会使所要求的输 入信噪比低于非编码系统，为此引入了编码增益的概念。其定义为：对于相同的信息传输速 率，在给定误码率下，非编码系统与编码系统之间所需信噪比S0 / N 0 之差（用dB 表示）。 采用不同的编码会得到不同的编码增益，但编码增益的提高要以增加系统带宽或复杂度来换 取。 4、码重和码距 对于二进制码组，码组中 “1”码元的个数称为码组的重量，简称码重，用 W 表示。例 如码组 1100 1，它的码重W 2 两个等长码组之间对应位不同的个数称为这两个码组的汉明距离，简称码距 d 。例如 码组 10001 和 01101，有三个位置的码元不同，所以码距d 3 。码组集合中各码组之间距 离的最小值称为码组的最小距离，用d0 表示。最小码距d0 是信道编码的一个重要参数，它 体现了该码组的纠、检错能力。d0 越大，说明码字间最小差别越大，抗干扰能力越强。但d0 与所加的监督位数有关，所加的监督位越多，d0 就越大，这又引起了编码效率R 的降低， 所以编码效率R 与最小码距d0 是一对矛盾。 根据编码理论，一种编码的检错或纠错能力与码字间的最小距离有关。在一般情况下， 分组码的最小汉明距离d0 与检错和纠错能力之间满足下列关系： ① 当码字用于检测错误时，为了能检测出任意≤e 个错误，最小码距应满足： d ≥e +1 （8-1 ） 0 这可以用图 8-3 (a) 来说明。设一码组A 位于 O 点，另一码组B 与A 最小码距为 d0 。 e O e 当A 码组发生 个误码时，可以认为 A 的位置将移动到以 为圆心、以 为半径的圆上， 但其位置不会超出此圆。只要e e 比d0 小 1，发生 个错码后错成的码组不可能变成另一任何 许用码组，即有e ≤d0 −1。 ② 当码字用于纠错时，为了能纠正任意≤t 个错误，最小码距应满足： d ≥2t +1 （8-2 ） 0 这可以用图 8-3 (b) 来说明。若码组 A 和码组 B 发生不多于t 位的错误，则其位置均不 超出以 O 和 O 为圆心，t 为半径的圆。只要这两个圆不相交，则当误码小于t 时，根据它 1 2 们落入哪个圆内，就可以正确地判断A 或B ，即可以纠正错误。以O 和 O 为圆心，t 为半 1 2 径的两圆不相交的最近圆心距离为2t +1，此即为纠正t 个误码的最小码距。 ③ 为了能纠正任意 ≤ t 个错误，同时又能检测出任意≤e 个错误，最小码距应满足： d0 ≥e +t +1 (e t) （8-3） e 在解释此式之前，先来说明什么是 “纠正t 个错码，同时又检测 个错码”（简称纠检 结合）。在某些情况下，要求对于出现较频繁但错码数很少的码组按前向纠错方式工作，以 节省反馈重发时间，同时又希望对一些错码数较多的码组，在超过该码的纠错能力时，能自 动按检错重发方式工作，以降低系统的总误码率。这种工作方式就是“纠检结合”。 A A A B 1 1 o B o1 o2 o1 1 o2 e t t t
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